计算机图形学-光栅化

视角场与宽高比

\begin{align} \tan \frac{fovY}{2} = \frac{t}{\lvert n \rvert} \\ aspect = \frac{r}{t} \end{align}

完成MVP变换后，就需要将模型画到屏幕上了。

屏幕

一个二维的像素数组
数组的大小：分辨率
一种典型的光栅成像设备

光栅就是屏幕的德语，光栅化就是将物体显示在屏幕上。

像素通过(x,y)的坐标形式表示，像素的中心在(x+0.5,y+0.5)
如果我们认为屏幕的分辨率为width∗height，那么共有(0,0)~(width−1,height−1) 个像素
屏幕空间覆盖了(0,0)到(width,height)的范围

视口变换

与z轴无关
由 $[-1,1]^{2}到[0, width]\times[0, height]$

视口变换矩阵：

M_{viewport} = \begin{pmatrix} \frac{width}{2} & 0 & 0 & \frac{width}{2} \\ 0 & \frac{height}{2} & \frac{height}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

采样

采样一个像素，判断它是否在模型的三角形内部。

首先需要明确采样点位置，一般选用像素中心作为采样点，坐标为(x + 0.5, y + 0.5)。

这里给出两种判断像素是否在三角形内部的方法：

叉乘法

首先按顺时针或者逆时针顺序给出三角形的三个顶点 $P_{0} P_{1} P_{2}$ 的坐标，坐标只关心X、Y。这里以逆时针为正做演示。

当 $(P_{2} – P_{1}) \times (Q – P_{1}) > 0$ 时，在边 $P_{1}P_{2}$ 左边。

当 $(P_{2} – P_{1}) \times (Q – P_{1}) \equal 0$ 时，在边 $P_{1}P_{2}$ 边的延长线上。

当 $(P_{2} – P_{1}) \times (Q – P_{1}) < 0$ 时，在边 $P_{1}P_{2}$ 边的右侧。

可知，当全部都在左侧也就是上面的三个式子都大于0的时候，点Q在三角形内部。当本方法只能判断内外，不能进行后续的插值运算（比如深度插值）。

重心坐标法

三角形内任意一点都可以被表示为三个顶点的线性组合。

P = \alpha V_{0} + \beta V_{1} + \gamma V_{2}

\alpha + \beta + \gamma = 1

如果, $\alpha \ \beta \ \gamma$ 都大于等于0小于等于1，那么P在三角形内部。

计算重心坐标首先要计算三角形的面积。

S = \frac{1}{2} \vec{V_{0}V_{1}} \times \vec{V_{0}V_{2}}

系数等于对边三角形的面积/三角形的总面积。

\alpha = \frac{S_{V_{1}V_{2}}}{S}

\beta = \frac{S_{V_{0}V_{2}}}{S}

\gamma = \frac{S_{V_{0}V_{1}}}{S}

性能优化-增量式计算

可知，对于每一个三角形，它的面积也就是上面式子的分母是不变的。而分子经过变换都能写成 $Ax+By+C$ 的形式。而相邻像素的x与y是依次递增的关系。当x+1时，可在前一个像素的基础上加A。当y+1时加B。

透视校正插值

屏幕空间中的重心坐标不能直接用于纹理坐标、法线、颜色、世界坐标等属性的插值。而齐次除法（透视除法）是非线性变换，变化后的屏幕空间不能直接组合3D空间中的属性插值。应该先进行透视校正。

bcClip = \frac{(\frac{\alpha}{w_{0}}, \ \frac{\beta}{w_{1}},\ \frac{\gamma}{w_{2}})}{\frac{\alpha}{w_{0}} + \frac{\beta}{w_{1}}+\frac{\gamma}{w_{2}}}

包围盒优化

实际上，我们不需要对屏幕上每个像素都判断它是否在三角形内部。我们可以确定三角形三个顶点的最小x、最大x、最小y、最大y，只对处于该包围盒的像素进行计算。

采样瑕疵

采样是对输入信号进行离散地取样。当信号变换过快而采样频率过慢时就会出现采样瑕疵。包括锯齿、摩尔纹等。

MSAA抗锯齿

首先，对每个像素增加采样点。对这些采样点做覆盖测试，判断它是否在三角形内部，并且要做深度测试。只有通过了深度测试的采样点才是有效的采样点。

片元着色器还是对像素中心点的位置进行着色。每个采样点都需要单独保留深度与颜色。通过采样测试的点的颜色就是这个像素通过深度插值得出来的颜色。而未通过测试的点不更新深度也不更新颜色。

最后所有物体渲染完成，将每个像素的采样点读取出来，对颜色取平均值就是该像素的颜色。