计算机图形学-MVP变换

2D变换

缩放

可知，变换后边长原来的s倍

\begin{align} x’=s_{x}x \\ y’=s_{y}y \end{align}

化为矩阵形式

\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_{x} & 0 \\ 0 & s_{y} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

切变

如图，在X方向的移动水平距离均为a/1，可得

\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

旋转

默认逆时针旋转，可用待定系数法求得变换矩阵

\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

移动

移动不是线性变换，不能直接用乘法表示。

\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t_{x} \\ t_{y} \end{pmatrix}

为了统一使用乘法，引入齐次坐标。

2D点： $(x,y,1)$

2D坐标： $(x,y,0)$

移动矩阵可以改写为：

\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}

总结

缩放

S(s_{x}, s_{y}) = \begin{pmatrix} s_{x} & 0 & 0 \\ 0 & s_{y} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

旋转

R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

移动

T(t_{x}, t_{y}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

矩阵乘法从右到左的顺序计算。

3D变换

同样的，为了统一线性与非线性变换，引入齐次坐标。

3D点： $(x, y, z, 1)$

3D向量： $(x, y, z, 0)$

缩放

S(s_{x}, s_{y}, s_{z}) = \begin{pmatrix} s_{x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_{y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_{z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

旋转：

R_{x}(\theta) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

R_{y}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

R_{z}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

移动

T(t_{x}, t_{y}, t_{z}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & 0 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 & t_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

视图变换

上面的变换方法都属于模型变换，在世界中对模型进行变换。

视图变换，即将视口摄像机移动到原点，上方向为+Y，朝向-Z，以便后续计算。同时，其他模型也需要进行变换以保持与摄像机的相对位置。所以，视图变换即使求摄像机移动到原点，并且旋转到上方向为+Y，朝向-Z的矩阵，并且对于其他模型也应用这样的矩阵。

T_{view} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -x \\ 0 & 1 & 0 & -y \\ 0 & 0 & 1 & -z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

设相机朝向为 $\hat{g}$ ，上方向为 $\hat{t}$ 。需要将 $\hat{g}$ 旋转到-Z， $\hat{t}$ 旋转到+Y， $\hat{g} \times \hat{t}$ 旋转到+X。可得，

R_{view}^{-1} = \begin{pmatrix} x_{ \hat{g} \times \hat{t} } & x_{t} & x_{-g} & 0 \\ y_{ \hat{g} \times \hat{t} } & y_{t} & y_{-g} & 0 \\ z_{ \hat{g} \times \hat{t} } & z_{t} & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

旋转矩阵为正交矩阵，所以其逆矩阵等于转置矩阵

R_{view} = \begin{pmatrix} x_{ \hat{g} \times \hat{t} } & y_{ \hat{g} \times \hat{t} } & z_{ \hat{g} \times \hat{t} } & 0 \\ x_{t} & y_{t} & z_{-t} & 0 \\ x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

投影变换

正交投影

将一个空间映射到正则立方体 $[-1, 1]^{2}$ 上。

M_{ortho}= \begin{pmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

透视投影

首先，可以将台体挤压为一个正方体，再对正方体作正交变换。

设挤压的变换矩阵M，即求

M \begin{pmatrix} x\\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x’\\ y’ \\ z’ \\ 1 \end{pmatrix}

由相似三角形，有

M \begin{pmatrix} x\\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x’\\ y’ \\ z’ \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{n}{z}x\\ \frac{n}{z}y \\ ? \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} nx\\ ny \\ ? \\ z \end{pmatrix}

可解得

M = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

在近平面处，n不变，将n代入

\begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ n^{2} \\ n \end{pmatrix}

可得第3行一定是 $(0, 0, A, B)$ 的形式

(0, 0, A, B) \begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ n^{2} \\ n \end{pmatrix}

得 $An+B=n^{2}$

远平面中心点不变

(0, 0, A, B) \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ f^{2} \\ f \end{pmatrix}

得 $Af+B=f^{2}$

解得

M = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

因为进行完MVP变换后，得到的矩阵 $(X_{clip}, y_{clip},Z_{clip},W_{clip})$ ，其中 $W_{clip} \equal Z_{clip}$ （根据左右手系的不同也可能等于相反数）。 $W_{clip}$ 储存了深度信息。只有将矩阵归一化，也就是除以 $W_{clip}$ 才能实现真正的近大远小的效果。这一步被称为齐次除法或者透视除法。

进行完MVP变化之后得到的空间被称作裁剪空间。

2D变换

缩放

切变

旋转

移动

总结

3D变换

视图变换

投影变换

正交投影

透视投影

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